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資料庫管理基礎知識大全 2024-11-01 07:28:56

必修一數學知識點總結

發布時間: 2022-02-27 13:35:01

㈠ 高中數學必修1知識點總結

馬上就要高考了,現在高中數學讓很多孩子頭疼,很多的家長還有孩子都開始著急,他們都在上一些輔導班,都在採取一對一的輔導,對於一對一的教師都是可以抓住孩子的一些弱點,然後還要了解他們的學習過程,還會幫助學生制定一些計劃,幫助他們提高學習的效率,對於高中數學,一定掌握學習的方法,才可以提高成績.高中數學都要學習什麼知識?

高中數學知識

對於高中數學的一些知識,其實還是很簡單的,只要你抓住學習的方法,從中找到樂趣,讓自己喜歡上數學,對你的學習是很有幫助的,至於一對一輔導,其實還是有用的,好的老師會給你講述好的學習方法,然後讓你考一個好成績,拿到滿意的答卷.

㈡ 高一數學必修一各章知識點總結



1




11








1








第一章

集合與函數概念

一、集合有關概念

1.

集合的含義

2.

集合的中元素的三個特性:

(1)

元素的確定性如:世界上最高的山

(2)

元素的互異性如:由
HAPPY
的字母組成的集合
{H,A,P,Y}
(3)

元素的無序性
:
如:
{a,b,c}

{a,c,b}
是表示同一個集合

3.
集合的表示:
{

}
如:
{
我校的籃球隊員
}

{
太平洋
,
大西

,
印度洋
,
北冰洋
}
(1)

用拉丁字母表示集合:
A={
我校的籃球隊員
},B={1,2,3,4,5}
(2)

集合的表示方法:列舉法與描述法。



注意:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集)

記作:
N
正整數集
N*

N+
整數集
Z
有理數集
Q
實數集
R

1


列舉法:
{a,b,c
……
}
2


描述法:
將集合中的元素的公共屬性描述出來,
寫在大括弧內
表示集合的方法。
{x

R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3


語言描述法:例:
{
不是直角三角形的三角形
}
4


Venn

:
4
、集合的分類:

(1)

有限集

含有有限個元素的集合

(2)

無限集

含有無限個元素的集合

(3)

空集

不含任何元素的集合


例:
{x|x
2
=

5



二、集合間的基本關系

1.
‚包含‛關系—子集

注意:
B
A

有兩種可能(
1

A

B
的一部分,


2

A

B
是同
一集合。

反之
:
集合
A
不包含於集合
B,
或集合
B
不包含集合
A,
記作
A


B

B


A
2

‚相等‛關系:
A=B (5

5
,且
5

5
,則
5=5)
實例:

A={x|x
2
-1=0} B={-1,1}
‚元素相同則兩集合相等‛

即:①

任何一個集合是它本身的子集。
A

A
②真子集
:
如果
A

B,

A


B
那就說集合
A
是集合
B
的真子集,記

A
B(

B
A)
③如果
A

B, B

C ,
那麼
A

C


如果
A

B
同時
B

A
那麼
A=B
3.
不含任何元素的集合叫做空集,記為
Φ

規定
:
空集是任何集合的子集,

空集是任何非空集合的真子集。




n
個元素的集合,含有
2
n
個子集,
2
n-1
個真子集

三、集合的運算

㈢ 必修一數學知識點歸納有哪些

必修一數學知識點歸納有:

1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=—b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

2、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

3、對數函數的一般形式為,它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對於a的規定,同樣適用於對數函數。

4、函數零點的意義:函數的零點就是方程實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即:方程有實數根,函數的圖象與坐標軸有交點,函數有零點。

5、棱錐的定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐。

㈣ 高中必修一數學知識歸納

高中高一數學必修1各章知識點總結

第一章 集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性:

1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

說明:(1)對於一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意啊:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集)記作:N

正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

關於「屬於」的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬於集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬於集合A 記作 a?A

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然後用一個大括弧括上。

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括弧內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分類:

1.有限集 含有有限個元素的集合

2.無限集 含有無限個元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關系

1.「包含」關系—子集

注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

2.「相等」關系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 「元素相同」

結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等於集合B,即:A=B

① 任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那麼 AíC

④ 如果AíB 同時 BíA 那麼A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義:一般地,由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作」A交B」),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集。記作:A∪B(讀作」A並B」),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集與並集的性質:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集與補集

(1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

記作: CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

S

CsA

A

(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(3)性質:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函數的有關概念

1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變數,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

注意:2如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

定義域補充

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域,求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等於零; (2)偶次方根的被開方數不小於零; (3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意:求出不等式組的解集即為函數的定義域。)

構成函數的三要素:定義域、對應關系和值域

再注意:(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由於值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變數和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

值域補充

(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則,不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域,它是求解復雜函數值域的基礎。

3. 函數圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.

C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2) 畫法

A、描點法:根據函數解析式和定義域,求出x,y的一些對應值並列表,以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y),最後用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發現解題中的錯誤。

4.快去了解區間的概念

(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.

5.什麼叫做映射

一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作「f:A B」

給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應,那麼,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明:函數是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有「方向性」,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對於映射f:A→B來說,則應滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優點:

1 函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;2 解析法:必須註明函數的定義域;3 圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵;4 列表法:選取的自變數要有代表性,應能反映定義域的特徵.

注意啊:解析法:便於算出函數值。列表法:便於查出函數值。圖象法:便於量出函數值

補充一:分段函數 (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變數代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括弧括起來,並分別註明各部分的自變數的取值情況.(1)分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集,值域是各段值域的並集.

補充二:復合函數

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函數單調性

(1).增函數

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那麼就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間(睇清楚課本單調區間的概念)

如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1<x2 時,都有f(x1)>f(x2),那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意:1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函數的局部性質;

2 必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1,x2;當x1<x2時,總有f(x1)<f(x2) 。

(2) 圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A) 定義法:

1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;2 作差f(x1)-f(x2);3 變形(通常是因式分解和配方);4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)_

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律如下:

函數
單調性

u=g(x)





y=f(u)





y=f[g(x)]





注意:1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?

8.函數的奇偶性

(1)偶函數

一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函數.

(2).奇函數

一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函數.

注意:1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性,函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

2 由函數的奇偶性定義可知,函數具有奇偶性的一個必要條件是,對於定義域內的任意一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變數(即定義域關於原點對稱).

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵

偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.

總結:利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟:1 首先確定函數的定義域,並判斷其定義域是否關於原點對稱;2 確定f(-x)與f(x)的關系;3 作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數.

注意啊:函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關於原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理,或藉助函數的圖象判定 .

9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變數之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.

(2).求函數的解析式的主要方法有:待定系數法、換元法、消參法等,如果已知函數解析式的構造時,可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值2 利用圖象求函數的最大(小)值3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

第二章 基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數冪的運算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那麼 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.

當 是奇數時,正數的 次方根是一個正數,負數的 次方根是一個負數.此時, 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical),這里 叫做根指數(radical exponent), 叫做被開方數(radicand).

當 是偶數時,正數的 次方根有兩個,這兩個數互為相反數.此時,正數 的正的 次方根用符號 表示,負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合並成± ( >0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。

注意:當 是奇數時, ,當 是偶數時,
2.分數指數冪

正數的分數指數冪的意義,規定:


0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義

指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

3.實數指數冪的運算性質

(1) · ;

(2) ;

(3) .

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念:一般地,函數 叫做指數函數(exponential ),其中x是自變數,函數的定義域為R.

注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

a>1
0<a<1

圖象特徵
函數性質

向x、y軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R

圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數

函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+

函數圖象都過定點(0,1)

自左向右看,

圖象逐漸上升
自左向右看,

圖象逐漸下降
增函數
減函數

在第一象限內的圖象縱坐標都大於1
在第一象限內的圖象縱坐標都小於1

在第二象限內的圖象縱坐標都小於1
在第二象限內的圖象縱坐標都大於1

圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢,到了某一值後增長速度極快;
函數值開始減小極快,到了某一值後減小速度較慢;

注意:利用函數的單調性,結合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對於指數函數 ,總有 ;
(4)當 時,若 ,則 ;

二、對數函數

(一)對數

1.對數的概念:一般地,如果 ,那麼數 叫做以 為底 的對數,記作: ( — 底數, — 真數, — 對數式)

說明:1 注意底數的限制 ,且 ;

2 ;

3 注意對數的書寫格式.

兩個重要對數:

1 常用對數:以10為底的對數 ;

2 自然對數:以無理數 為底的對數的對數 .

對數式與指數式的互化

對數式 指數式

對數底數 ← → 冪底數

對數 ← → 指數

真數 ← → 冪

(二)對數的運算性質

如果 ,且 , , ,那麼:

1 · + ;

2 - ;

3 .

注意:換底公式

( ,且 ; ,且 ; ).

利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .

(二)對數函數

1、對數函數的概念:函數 ,且 叫做對數函數,其中 是自變數,函數的定義域是(0,+∞).

注意:1 對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別。

如: , 都不是對數函數,而只能稱其為對數型函數.

2 對數函數對底數的限制: ,且 .

2、對數函數的性質:

a>1
0<a<1

圖象特徵
函數性質

函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0,+∞)

圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數

向y軸正負方向無限延伸
函數的值域為R

函數圖象都過定點(1,0)

自左向右看,

圖象逐漸上升
自左向右看,

圖象逐漸下降
增函數
減函數

第一象限的圖象縱坐標都大於0
第一象限的圖象縱坐標都大於0

第二象限的圖象縱坐標都小於0
第二象限的圖象縱坐標都小於0

(三)冪函數

1、冪函數定義:一般地,形如 的函數稱為冪函數,其中 為常數.

2、冪函數性質歸納.

(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,並且圖象都過點(1,1);

(2) 時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間 上是增函數.特別地,當 時,冪函數的圖象下凸;當 時,冪函數的圖象上凸;

(3) 時,冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內,當 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當 趨於 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.

第三章 函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念:對於函數 ,把使 成立的實數 叫做函數 的零點。

2、函數零點的意義:函數 的零點就是方程 實數根,亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即:

方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.

3、函數零點的求法:

求函數 的零點:

1 (代數法)求方程 的實數根;

2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數 的圖象聯系起來,並利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點:

二次函數 .

1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數的圖象與 軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.

2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與 軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程 無實根,二次函數的圖象與 軸無交點,二次函數無零點.
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㈤ 高一數學必修一知識點總結

高一數學必修1第一章知識點總結

一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性:
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
 注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集) 記作:N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

1) 列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括弧內表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關系
1.「包含」關系—子集
注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.「相等」關系:A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 「元素相同則兩集合相等」
即:① 任何一個集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那麼 AC
④ 如果AB 同時 BA 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作『A交B』),即A B={x|x A,且x B}.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集.記作:A B(讀作『A並B』),即A B ={x|x A,或x B}).
設S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)
記作 ,即
CSA=








質 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.

例題:
1.下列四組對象,能構成集合的是 ( )
A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等於它自身的實數
2.集合{a,b,c }的真子集共有 個
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0},則M與N的關系是 .
4.設集合A= ,B= ,若A B,則 的取值范圍是
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學實驗做得正確得有31人,
兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有 人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函數的有關概念
1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變數,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.
注意:
1.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零,
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
 相同函數的判斷方法:①表達式相同(與表示自變數和函數值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法:
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示.
5.映射
一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變數的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的並集.
補充:復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
二.函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
(1)增函數
設函數y=f(x)的定義域為I,如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那麼就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1<x2 時,都有f(x1)>f(x2),那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意:函數的單調性是函數的局部性質;
(2) 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
○5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:「同增異減」
注意:函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
8.函數的奇偶性(整體性質)
(1)偶函數
一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函數.
(2).奇函數
一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函數.
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.
利用定義判斷函數奇偶性的步驟:
○1首先確定函數的定義域,並判斷其是否關於原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關系;
○3作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理,或藉助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
(1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變數之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.
(2)求函數的解析式的主要方法有:
1) 湊配法
2) 待定系數法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值
○2 利用圖象求函數的最大(小)值
○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
例題:
1.求下列函數的定義域:
⑴ ⑵
2.設函數 的定義域為 ,則函數 的定義域為_ _
3.若函數 的定義域為 ,則函數 的定義域是
4.函數 ,若 ,則 =

6.已知函數 ,求函數 , 的解析式
7.已知函數 滿足 ,則 = 。
8.設 是R上的奇函數,且當 時, ,則當 時 =
在R上的解析式為
9.求下列函數的單調區間:
⑴ (2)
10.判斷函數 的單調性並證明你的結論.
11.設函數 判斷它的奇偶性並且求證: .

㈥ 人教版高一數學b版必修一知識點總結

1.集合的關系(屬於、子集、並集、交集……)2.函數(定義域、對應法則、值域)3.初等函數(冪函數、指數函數、對數函數)4.函數與生活問題的結合(建立函數模型)