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古往今來小知識 2022-08-09 18:43:47

高中數學必修一知識及例題

發布時間: 2022-08-06 10:16:12

A. 誰有高中數學必修一的全部知識點整理,一定要全.簡潔

高中數學知識點總結1.對於集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的「確定性、互異性、無序性」。中元素各表示什麼?注重藉助於數軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。3.注意下列性質:(3)德摩根定律:4.你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)的取值范圍。6.命題的四種形式及其相互關系是什麼?(互為逆否關系的命題是等價命題。)原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。7.對映射的概念了解嗎?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性,哪幾種對應能構成映射?(一對一,多對一,允許B中有元素無原象。)8.函數的三要素是什麼?如何比較兩個函數是否相同?(定義域、對應法則、值域)9.求函數的定義域有哪些常見類型?10.如何求復合函數的定義域?義域是_____________。11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時,註明函數的定義域了嗎?12.反函數存在的條件是什麼?(一一對應函數)求反函數的步驟掌握了嗎?(①反解x;②互換x、y;③註明定義域)13.反函數的性質有哪些?①互為反函數的圖象關於直線y=x對稱;②保存了原來函數的單調性、奇函數性;14.如何用定義證明函數的單調性?(取值、作差、判正負)如何判斷復合函數的單調性?∴……)15.如何利用導數判斷函數的單調性?值是()A.0B.1C.2D.3∴a的最大值為3)16.函數f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什麼?(f(x)定義域關於原點對稱)注意如下結論:(1)在公共定義域內:兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。17.你熟悉周期函數的定義嗎?函數,T是一個周期。)如:18.你掌握常用的圖象變換了嗎?注意如下「翻折」變換:19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎?的雙曲線。應用:①「三個二次」(二次函數、二次方程、二次不等式)的關系——二次方程②求閉區間[m,n]上的最值。③求區間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。由圖象記性質!(注意底數的限定!)利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什麼?20.你在基本運算上常出現錯誤嗎?21.如何解抽象函數問題?(賦值法、結構變換法)22.掌握求函數值域的常用方法了嗎?(二次函數法(配方法),反函數法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函數單調性法,導數法等。)如求下列函數的最值:23.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?24.熟記三角函數的定義,單位圓中三角函數線的定義25.你能迅速畫出正弦、餘弦、正切函數的圖象嗎?並由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎?(x,y)作圖象。27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值,再判定角的范圍。28.在解含有正、餘弦函數的問題時,你注意(到)運用函數的有界性了嗎?29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎?(平移變換、伸縮變換)平移公式:圖象?30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎?「奇」、「偶」指k取奇、偶數。A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎?理解公式之間的聯系:應用以上公式對三角函數式化簡。(化簡要求:項數最少、函數種類最少,分母中不含三角函數,能求值,盡可能求值。)具體方法:(2)名的變換:化弦或化切(3)次數的變換:升、降冪公式(4)形的變換:統一函數形式,注意運用代數運算。32.正、餘弦定理的各種表達形式你還記得嗎?如何實現邊、角轉化,而解斜三角形?(應用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。34.不等式的性質有哪些?答案:C35.利用均值不等式:值?(一正、二定、三相等)注意如下結論:36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)並注意簡單放縮法的應用。(移項通分,分子分母因式分解,x的系數變為1,穿軸法解得結果。)38.用「穿軸法」解高次不等式——「奇穿,偶切」,從最大根的右上方開始39.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解?(找零點,分段討論,去掉絕對值符號,最後取各段的並集。)證明:(按不等號方向放縮)42.不等式恆成立問題,常用的處理方式是什麼?(可轉化為最值問題,或「△」問題)43.等差數列的定義與性質0的二次函數)項,即:44.等比數列的定義與性質46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎?例如:(1)求差(商)法解:[練習](2)疊乘法解:(3)等差型遞推公式[練習](4)等比型遞推公式[練習](5)倒數法47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎?例如:(1)裂項法:把數列各項拆成兩項或多項之和,使之出現成對互為相反數的項。解:[練習](2)錯位相減法:(3)倒序相加法:把數列的各項順序倒寫,再與原來順序的數列相加。[練習]48.你知道儲蓄、貸款問題嗎?△零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:若每期存入本金p元,每期利率為r,n期後,本利和為:△若按復利,如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類)若貸款(向銀行借款)p元,採用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)後為第一次還款日,如此下去,第n次還清。如果每期利率為r(按復利),那麼每期應還x元,滿足p——貸款數,r——利率,n——還款期數49.解排列、組合問題的依據是:分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合。(2)排列:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一(3)組合:從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素並組成一組,叫做從n個不50.解排列與組合問題的規律是:相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可採用隔板法,數量不大時可以逐一排出結果。如:學號為1,2,3,4的四名學生的考試成績則這四位同學考試成績的所有可能情況是()A.24B.15C.12D.10解析:可分成兩類:(2)中間兩個分數相等相同兩數分別取90,91,92,對應的排列可以數出來,分別有3,4,3種,∴有10種。∴共有5+10=15(種)情況51.二項式定理性質:(3)最值:n為偶數時,n+1為奇數,中間一項的二項式系數最大且為第表示)52.你對隨機事件之間的關系熟悉嗎?的和(並)。(5)互斥事件(互不相容事件):「A與B不能同時發生」叫做A、B互斥。(6)對立事件(互逆事件):(7)獨立事件:A發生與否對B發生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。53.對某一事件概率的求法:分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常採用排列組合的方法,即(5)如果在一次試驗中A發生的概率是p,那麼在n次獨立重復試驗中A恰好發生如:設10件產品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。(1)從中任取2件都是次品;(2)從中任取5件恰有2件次品;(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103而至少有2件次品為「恰有2次品」和「三件都是次品」(4)從中依次取5件恰有2件次品。解析:∵一件一件抽取(有順序)分清(1)、(2)是組合問題,(3)是可重復排列問題,(4)是無重復排列問題。54.抽樣方法主要有:簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數表法)常常用於總體個數較少時,它的特徵是從總體中逐個抽取;系統抽樣,常用於總體個數較多時,它的主要特徵是均衡成若幹部分,每部分只取一個;分層抽樣,主要特徵是分層按比例抽樣,主要用於總體中有明顯差異,它們的共同特徵是每個個體被抽到的概率相等,體現了抽樣的客觀性和平等性。55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本的期望(平均值)和方差去估計總體的期望和方差。要熟悉樣本頻率直方圖的作法:(2)決定組距和組數;(3)決定分點;(4)列頻率分布表;(5)畫頻率直方圖。如:從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽,如果按性別分層隨機抽樣,則組成此參賽隊的概率為____________。56.你對向量的有關概念清楚嗎?(1)向量——既有大小又有方向的量。在此規定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。(6)並線向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。規定零向量與任意向量平行。(7)向量的加、減法如圖:(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)的一組基底。(9)向量的坐標表示表示。57.平面向量的數量積數量積的幾何意義:(2)數量積的運演算法則[練習]答案:答案:2答案:58.線段的定比分點※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎?59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎?平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化:線面平行的判定:線面平行的性質:三垂線定理(及逆定理):線面垂直:面面垂直:60.三類角的定義及求法(1)異面直線所成的角θ,0°<θ≤90°(2)直線與平面所成的角θ,0°≤θ≤90°(三垂線定理法:A∈α作或證AB⊥β於B,作BO⊥棱於O,連AO,則AO⊥棱l,∴∠AOB為所求。)三類角的求法:①找出或作出有關的角。②證明其符合定義,並指出所求作的角。③計算大小(解直角三角形,或用餘弦定理)。[練習](1)如圖,OA為α的斜線OB為其在α內射影,OC為α內過O點任一直線。(2)如圖,正四稜柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1=8,BD1與側面B1BCC1所成的為30°。①求BD1和底面ABCD所成的角;②求異面直線BD1和AD所成的角;③求二面角C1—BD1—B1的大小。(3)如圖ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。(∵AB∥DC,P為面PAB與面PCD的公共點,作PF∥AB,則PF為面PCD與面PAB的交線……)61.空間有幾種距離?如何求距離?點與點,點與線,點與面,線與線,線與面,面與面間距離。將空間距離轉化為兩點的距離,構造三角形,解三角形求線段的長(如:三垂線定理法,或者用等積轉化法)。如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱長為a,則:(1)點C到面AB1C1的距離為___________;(2)點B到面ACB1的距離為____________;(3)直線A1D1到面AB1C1的距離為____________;(4)面AB1C與面A1DC1的距離為____________;(5)點B到直線A1C1的距離為_____________。62.你是否准確理解正稜柱、正棱錐的定義並掌握它們的性質?正稜柱——底面為正多邊形的直稜柱正棱錐——底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面的中心。正棱錐的計算集中在四個直角三角形中:它們各包含哪些元素?63.球有哪些性質?(2)球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此,要找球心角!(3)如圖,θ為緯度角,它是線面成角;α為經度角,它是面面成角。(5)球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R:r=3:1。積為()答案:A64.熟記下列公式了嗎?(2)直線方程:65.如何判斷兩直線平行、垂直?66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關系?圓心到直線的距離與圓的半徑比較。直線與圓相交時,注意利用圓的「垂徑定理」。67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置?68.分清圓錐曲線的定義70.在圓錐曲線與直線聯立求解時,消元後得到的方程,要注意其二次項系數是否為零?△≥0的限制。(求交點,弦長,中點,斜率,對稱存在性問題都在△≥0下進行。)71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎?如:通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者;以焦點弦為直徑的圓與准線相切。72.有關中點弦問題可考慮用「代點法」。答案:73.如何求解「對稱」問題?(1)證明曲線C:F(x,y)=0關於點M(a,b)成中心對稱,設A(x,y)為曲線C上任意一點,設A'(x',y')為A關於點M的對稱點。75.求軌跡方程的常用方法有哪些?注意討論范圍。(直接法、定義法、轉移法、參數法)76.對線性規劃問題:作出可行域,作出以目標函數為截距的直線,在可行域內平移直線,求出目標函數的最值。

B. 高一必修數學知識點

一、集合:集合關系與充分、必要條件;含參、含絕對值即高次不等式解法(穿根);四種命題與充要條件。
二、函數:所有知識點。
三、數列:特殊數列的特殊方法,掌握累加,累乘,錯位相減,列項相消等方法,熟記基本公式。
四、三角函數:公式;圖像與性質;運用正、餘弦定理解三角形角與邊;
五、平面向量:向量與向量的運算;平面向量的坐標運算;平面向量的數量積及運算;線段的定比分點與平移;解斜三角形。
六、不等式(不知道這個是不是你說的方程式,就先寫上了):主要是一些證法和定論。

我是今年剛畢業的高三學生,這些都是我的筆記,希望對你有所幫助,好好學哦,加油!!!

C. 求高中數學必修一知識點

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D. 高中必修一數學知識歸納

高中高一數學必修1各章知識點總結

第一章 集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性:

1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

說明:(1)對於一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意啊:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集)記作:N

正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

關於「屬於」的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬於集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬於集合A 記作 a?A

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然後用一個大括弧括上。

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括弧內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分類:

1.有限集 含有有限個元素的集合

2.無限集 含有無限個元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關系

1.「包含」關系—子集

注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

2.「相等」關系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 「元素相同」

結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等於集合B,即:A=B

① 任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那麼 AíC

④ 如果AíB 同時 BíA 那麼A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義:一般地,由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作」A交B」),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集。記作:A∪B(讀作」A並B」),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集與並集的性質:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集與補集

(1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

記作: CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

S

CsA

A

(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(3)性質:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函數的有關概念

1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變數,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

注意:2如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

定義域補充

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域,求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等於零; (2)偶次方根的被開方數不小於零; (3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意:求出不等式組的解集即為函數的定義域。)

構成函數的三要素:定義域、對應關系和值域

再注意:(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由於值域是由定義域和對應關系決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致,而與表示自變數和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

值域補充

(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則,不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域,它是求解復雜函數值域的基礎。

3. 函數圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.

C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2) 畫法

A、描點法:根據函數解析式和定義域,求出x,y的一些對應值並列表,以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y),最後用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發現解題中的錯誤。

4.快去了解區間的概念

(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.

5.什麼叫做映射

一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作「f:A B」

給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應,那麼,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明:函數是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有「方向性」,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對於映射f:A→B來說,則應滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優點:

1 函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;2 解析法:必須註明函數的定義域;3 圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵;4 列表法:選取的自變數要有代表性,應能反映定義域的特徵.

注意啊:解析法:便於算出函數值。列表法:便於查出函數值。圖象法:便於量出函數值

補充一:分段函數 (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變數代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括弧括起來,並分別註明各部分的自變數的取值情況.(1)分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集,值域是各段值域的並集.

補充二:復合函數

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函數單調性

(1).增函數

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那麼就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間(睇清楚課本單調區間的概念)

如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1<x2 時,都有f(x1)>f(x2),那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意:1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函數的局部性質;

2 必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1,x2;當x1<x2時,總有f(x1)<f(x2) 。

(2) 圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A) 定義法:

1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;2 作差f(x1)-f(x2);3 變形(通常是因式分解和配方);4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)_

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律如下:

函數
單調性

u=g(x)





y=f(u)





y=f[g(x)]





注意:1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?

8.函數的奇偶性

(1)偶函數

一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函數.

(2).奇函數

一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函數.

注意:1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性,函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

2 由函數的奇偶性定義可知,函數具有奇偶性的一個必要條件是,對於定義域內的任意一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變數(即定義域關於原點對稱).

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵

偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.

總結:利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟:1 首先確定函數的定義域,並判斷其定義域是否關於原點對稱;2 確定f(-x)與f(x)的關系;3 作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數.

注意啊:函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關於原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理,或藉助函數的圖象判定 .

9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變數之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.

(2).求函數的解析式的主要方法有:待定系數法、換元法、消參法等,如果已知函數解析式的構造時,可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值2 利用圖象求函數的最大(小)值3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

第二章 基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數冪的運算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那麼 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.

當 是奇數時,正數的 次方根是一個正數,負數的 次方根是一個負數.此時, 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical),這里 叫做根指數(radical exponent), 叫做被開方數(radicand).

當 是偶數時,正數的 次方根有兩個,這兩個數互為相反數.此時,正數 的正的 次方根用符號 表示,負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合並成± ( >0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。

注意:當 是奇數時, ,當 是偶數時,
2.分數指數冪

正數的分數指數冪的意義,規定:


0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義

指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

3.實數指數冪的運算性質

(1) · ;

(2) ;

(3) .

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念:一般地,函數 叫做指數函數(exponential ),其中x是自變數,函數的定義域為R.

注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

a>1
0<a<1

圖象特徵
函數性質

向x、y軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R

圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數

函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+

函數圖象都過定點(0,1)

自左向右看,

圖象逐漸上升
自左向右看,

圖象逐漸下降
增函數
減函數

在第一象限內的圖象縱坐標都大於1
在第一象限內的圖象縱坐標都小於1

在第二象限內的圖象縱坐標都小於1
在第二象限內的圖象縱坐標都大於1

圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢,到了某一值後增長速度極快;
函數值開始減小極快,到了某一值後減小速度較慢;

注意:利用函數的單調性,結合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對於指數函數 ,總有 ;
(4)當 時,若 ,則 ;

二、對數函數

(一)對數

1.對數的概念:一般地,如果 ,那麼數 叫做以 為底 的對數,記作: ( — 底數, — 真數, — 對數式)

說明:1 注意底數的限制 ,且 ;

2 ;

3 注意對數的書寫格式.

兩個重要對數:

1 常用對數:以10為底的對數 ;

2 自然對數:以無理數 為底的對數的對數 .

對數式與指數式的互化

對數式 指數式

對數底數 ← → 冪底數

對數 ← → 指數

真數 ← → 冪

(二)對數的運算性質

如果 ,且 , , ,那麼:

1 · + ;

2 - ;

3 .

注意:換底公式

( ,且 ; ,且 ; ).

利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .

(二)對數函數

1、對數函數的概念:函數 ,且 叫做對數函數,其中 是自變數,函數的定義域是(0,+∞).

注意:1 對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別。

如: , 都不是對數函數,而只能稱其為對數型函數.

2 對數函數對底數的限制: ,且 .

2、對數函數的性質:

a>1
0<a<1

圖象特徵
函數性質

函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0,+∞)

圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數

向y軸正負方向無限延伸
函數的值域為R

函數圖象都過定點(1,0)

自左向右看,

圖象逐漸上升
自左向右看,

圖象逐漸下降
增函數
減函數

第一象限的圖象縱坐標都大於0
第一象限的圖象縱坐標都大於0

第二象限的圖象縱坐標都小於0
第二象限的圖象縱坐標都小於0

(三)冪函數

1、冪函數定義:一般地,形如 的函數稱為冪函數,其中 為常數.

2、冪函數性質歸納.

(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,並且圖象都過點(1,1);

(2) 時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間 上是增函數.特別地,當 時,冪函數的圖象下凸;當 時,冪函數的圖象上凸;

(3) 時,冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內,當 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當 趨於 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.

第三章 函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念:對於函數 ,把使 成立的實數 叫做函數 的零點。

2、函數零點的意義:函數 的零點就是方程 實數根,亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即:

方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.

3、函數零點的求法:

求函數 的零點:

1 (代數法)求方程 的實數根;

2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數 的圖象聯系起來,並利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點:

二次函數 .

1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數的圖象與 軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.

2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與 軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程 無實根,二次函數的圖象與 軸無交點,二次函數無零點.
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