Ⅰ 學習拓撲學的順序是怎麼樣的比如點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲,拓撲學還有哪些內容需要什麼基礎
以大學課程來看的話,一般都是先學點集拓撲,再到代數拓撲,再到微分拓撲。至於拓撲有哪些內容,其實拓撲學是一個很大的概念,上面提到的三門課程只能說是入門級別的課程。真要說現代數學關心的領域,其實有很多很多的分支。幾個例子:代數拓撲,主要研究同調、同倫群(比如前兩年剛剛證明的61維球有唯一的微分結構);高維拓撲,主要指5維及以上(這類好像相對冷門);低維拓撲(三維和四維,這裡面又有很多相關的分支,比如紐結理論、雙曲幾何、規范場論等等)。而且現代數學也是相互關聯、相互交叉的,不說純屬學內部的聯系,拓撲在現實中也有很多應用(可以去找找紐結方法研究DNA、拓撲數據分析之類的)
Ⅱ 怎麼學習拓撲學
拓撲我自學的時候是看的尤承業那本《基礎拓撲學》,這本基本就是Armstrong的《Basic Topology》的精簡版,所以我建議能接受外文教材的直接去看後者。然後還有一本輔導書叫做《拓撲學中的反例》,適合學過基本概念、想檢測自己對概念理解程度的人看。
至於說如何看待代數拓撲,我只能說代數拓撲是比點集拓撲強大太多太多的工具了。。你學了點集拓撲以後,基本就是知道了各種東西的定義,但是幾乎做不了多少有意義的事情。就好比學了集合論不等於學了基於集合論的整套數學體系一樣。你只學過點集拓撲,你怎麼證明不同維數的{R}^n 不同胚?對於低維的情況你可以用挖點然後利用連通性的不同來區分{R},{R}^2 ,然後你腦子稍微轉一下也可以用挖點然後形變收縮到球面、然後用同樣挖點的方法證明 S^1,S^2 不同胚來證明 {R}^2,{R}^3 不同胚。那麼更高維數呢?所有維數呢?這時候,只要你學過同調群,就可以用同調群來證明不同維數的球面不同胚,從而證明不同維數歐氏空間也不同胚。其實我覺得學代數拓撲的意義還是非常明顯的,不同的拓撲不變數就是拿來區分不同的空間的,只不過這些不變數不再是簡單的數字,而可以是一個群等等。
Ⅲ 學習點集拓撲需要什麼基礎(請略微詳細些) 學習點集拓撲的用處(比如某些專業職業中)
我覺得點集拓撲是個基礎課程,但是卻是很重要的基礎。所以你問直接的用處,可能很少,但是要用到拓撲相關的知識的時候,比如經濟學或是計算機的拓撲結構的時候,沒有點集拓撲入門可能還是很難看懂的。
學習點集拓撲,基本上就是研究集合的關系,只不過多了定義拓撲(一些指定的開集合構成的集合族),學習的方法就是邏輯推理,所以推理好的人應該很容易學懂。
至於基礎的話,我認為極限的定義的eps語言需要掌握,集合論的知識要掌握,其實熊金城哪本書第一章的知識就是學習點集拓撲的基礎知識了,如果你用哪本書,我覺得直接看就可以了,不需要做什麼准備的。
Ⅳ 什麼是點集拓撲,什麼是代數拓撲,二者有啥區別與聯系
《點集拓撲》課程是一門現代數學基礎課程,屬數學與應用數學專業的理論課。是數學與應用數學專業的主幹課。點集拓撲學(Point Set Topology),有時也被稱為一般拓撲學(General Topology),是數學的拓撲學的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學構造的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域:對實數軸上點集的細致研究,流形的概念,度量空間的概念,以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經成文化了。通過這種可以為所有數學分支適用的表述形式,點集拓撲學基本上抓住了所有的對連續性的直觀認識。
代數拓撲(Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。它的前身是組合拓撲,組合拓撲的奠基人是H.龐加萊,1895年他建立了單純同調群即可三角剖分的空間(多面體)的同調群,引進了重要的拓撲不變數貝蒂數及撓系數。J.W.亞歷山大在1915年證明了貝蒂數和撓系數是同胚不變數,單純同調群是同胚不變數。同時龐加萊還引進了復形的基本群。1904年他給出了龐加萊猜想,即每個單連通的閉的可定向的三維流形同胚於三維球面,這個猜想後被推廣為每個單連通的閉的n維流形,如果具有n維球S的貝蒂數和撓系數,它就同胚於S。龐加萊猜想尚未被證明。推廣了的龐加萊猜想,對於n≥5的情形,為S.斯梅爾於1961年證明,對n=4的情形,為M.H.弗里德曼於1981年所證明。龐加萊是企圖利用同調群和基本群對三維流形進行同胚分類,但亞歷山大在1919年指出存在不同胚的三維流形,它們有同構的同調群和基本群。20世紀20年代S.萊夫謝茨和亞歷山大發展了同調論,得到了霍普夫不變數,證明了萊夫謝茨不動點定理,亞歷山大對偶定理。20世紀初引進了一般空間的同調群。1932年E.切赫上同調群產生。1944年S.艾倫伯格定義了奇異同調群且用艾倫伯格-斯廷羅德公理把各種同調群統一起來,建立了同調理論。在同倫論方面W.赫維茨定義了同倫群。J.H.C.懷特赫德把研究對象推廣到CW復形。1947年N.E.斯廷羅德在障礙理論中定義了斯廷羅德平方運算。1951年J.-P.塞爾對纖維叢引進了譜序列,在同倫群的計算方面取得不少成就。此外紐結問題也進一步發展成為思維合痕和嵌入問題。
Ⅳ 想學拓撲學,需要什麼基礎
拓撲學 與 幾何 不同
前者與代數聯系密切 後者與分析聯系密切
所以你需要學習 近世代數 因為拓撲中要很多群論的知識
Ⅵ 學習拓撲學,復變函數和泛函分析分別都需要哪些基礎數學知識
點集拓撲是其他分析科的基礎,一般學過一門數學分析就可以修了
復變一般要有拓撲和實分析的基礎
泛函要有拓撲、實分析的基礎,可以沒有復分析。最好學過一些線性代數
Ⅶ 請問學習拓撲學需要什麼基礎
當然可以,一般來說,只要學過分析學,如數學分析,泛函分析來說,學習點集拓撲學就沒什麼問題。如果要學習代數拓撲,還應該具有近似代數的基礎。個人建議先從點集拓撲開始看